Pendiente de una recta: fórmula, ejemplos y ejercicios

Cómo se calcula la pendiente de una recta

Con dos puntos de la recta, $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$, la pendiente es $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Es la razón entre cuánto cambia $y$ y cuánto cambia $x$, o dicho de otra forma, cuánto sube o baja la recta por cada unidad que avanza hacia la derecha.

Dos cosas que se olvidan con facilidad:

• Tienes que restar en el mismo orden arriba y abajo. Si haces $y_2 - y_1$, también haces $x_2 - x_1$. Si inviertes uno solo, te sale el signo contrario.
• No importa qué punto llames 1 y cuál 2, siempre que uses el mismo orden en numerador y denominador.

Cómo leer el signo

• Pendiente positiva: la recta sube de izquierda a derecha.
• Pendiente negativa: la recta baja de izquierda a derecha.
• Pendiente cero: la recta es horizontal, porque $y$ no cambia.
• Pendiente no definida: la recta es vertical. Ahí el denominador $x_2 - x_1$ vale cero, y no existe división por cero.

Pendiente desde la ecuación

Si la recta está en la forma $y = mx + b$, la pendiente es el coeficiente de $x$. En $y = -3x + 5$, la pendiente es $-3$ y el intercepto con el eje $y$ es $5$.

Si la ecuación viene como $Ax + By = C$, despeja $y$ o usa la fórmula $m = -\frac{A}{B}$. Por ejemplo, en $2x + 4y = 8$, la pendiente es $-\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Rectas paralelas y perpendiculares

Dos rectas no verticales son paralelas si tienen la misma pendiente. Son perpendiculares si el producto de sus pendientes es $-1$. Así, una recta con pendiente $\frac{2}{3}$ es perpendicular a una con pendiente $-\frac{3}{2}$.

Tres ejercicios resueltos

1. Calcula la pendiente de la recta que pasa por $(1, 2)$ y $(4, 8)$.

$m = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$. La recta sube 2 unidades por cada unidad que avanza en $x$.

2. ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por $(-2, 5)$ y $(3, 5)$?

$m = \frac{5 - 5}{3 - (-2)} = \frac{0}{5} = 0$. Es horizontal.

3. Una recta tiene ecuación $3x - 6y = 12$. ¿Cuál es su pendiente?

Despejamos $y$: $-6y = -3x + 12$, entonces $y = \frac{1}{2}x - 2$. La pendiente es $\frac{1}{2}$.

Errores que más restan

• Restar en orden distinto arriba y abajo. Revisa el signo antes de simplificar.
• Confundir el intercepto con la pendiente en $y = mx + b$. El que acompaña a $x$ es la pendiente.
• Olvidar despejar $y$ antes de leer la pendiente en la forma $Ax + By = C$.
• Dar la pendiente como $0$ cuando la recta es vertical. Vertical es "no definida".

Para practicar con preguntas de este tipo en condiciones parecidas al examen, el simulacro de matemáticas del Saber 11 tiene 12 preguntas con tiempo limitado. Si quieres ver cómo se presentan en el examen oficial, los cuadernillos gratuitos del ICFES en su caja de herramientas muestran el estilo de las preguntas.